روش دلتا یا فرمول کلی برای حل معادله درجه دوم و بدست آوردن ریشه های آن

معادله درجه دوم درحالت کلی به فرم 0=ax²+bx+c است. روش دلتا قوی ترین روش برای بدست آوردن ریشه های معادله درجه دوم است. منظور از حل یک معادله به روش دلتا یعنی بدست آوردن x هایی که در آن معادله صدق می کند.

معرفی روش دلتا برای حل معادله درجه دوم

معادله درجه دوم درحالت کلی به فرم 0=ax²+bx+c است. روش دلتا قوی ترین روش برای بدست آوردن ریشه های معادله درجه دوم است. منظور از حل یک معادله به روش دلتا یعنی بدست آوردن x هایی که در آن معادله صدق می کند. یعنی باعث می شود تا دو طرف علامت مساوی مثل هم شوند. به اون x ها ، ریشه های معادله هم گفته می شود.

با اینکه گفتیم روش دلتا قوی ترین روش است ولی لزوما همیشه بهترین روش نیست. روش هایی مثل تجزیه، ریشه گیری، مربع کامل کردن و یا روش ترسیمی نیز وجود دارد که هر کدام درجای خودش ممکن است بهتر از روش دلتا باشد.

مزیت روش دلتا این است که برای یک معادله درجه دوم 0=ax²+bx+c همیشه می توان از آن استفاده کرد.

اگر معادله ای که به شما دادن به ترتیب توان های نزولی x مرتب شده نبود، ابتدا باید به کمک روابط جبری که بلدیم آن معادله را به شکل استاندارد ax²+bx+c=0 در بیاریم.

فراموش نکنید که برای استفاده از روش دلتا همیشه منظور از a ضریب x² ، منظور از b ضریب x و منظور از c مقدار عدد ثابت است.

فرمول روش دلتا به صورت زیر است:

بر اساس علامت دلتا سه حالت ممکن است رخ دهد. اگر :

• دلتا مثبت باشد، معادله دو ریشه حقیقی متمایز دارد.
• دلتا صفر باشد، معادله یک ریشه حقیقی مضاعف دارد
• دلتا منفی باشد، معادله ریشه حقیقی ندارد.

توضیحات :

در روش دلتا ، برای حالت دلتا مثبت دو ریشه حقیقی متمایز، یعنی دو ریشه که مقدار آن ها باهم فرق دارد از رابطه زیر بدست می آید:

برای حالت دلتا مساوی با صفر در روش دلتا ، فقط یک ریشه داریم. چون اگر در فرمول بالایی مقدار دلتا را مساوی با صفر قرار بدیم ، عبارت زیر بدست می آید که فقط یک ریشه به ما می دهد. منظور از ریشه مضاعف این است که دو ریشه معادله باهم برابرند و تبدیل به یک ریشه شده اند.

در حالتی که دلتا منفی است چون عدد زیر رادیکال منفی می شود و می دانیم رادیکالی که عدد زیر آن منفی باشد، جواب حقیقی ندارد ( ریشه رادیکال 2 است )، بنابراین معادله درجه دوم هم در این حالت ریشه حقیقی ندارد.

مثال 1 : ریشه های معادله 4x²+3x-1=0 را به روش دلتا بدست آورید.

جواب : از روی معادله داریم : a=4 , b=3 , c= -1

مثال 2 : ریشه های معادله 4x²-4x+1=0 را به روش دلتا بدست آورید.

جواب : از روی معادله داریم : a=4 , b=-4 , c= 1

مثال 3 : ریشه های معادله 4x²+3x+1=0 را به روش دلتا بدست آورید.

جواب : از روی معادله داریم : a=4 , b=3 , c= 1

چون دلتا این معادله منفی است بنابراین معادله درجه دوم ریشه حقیقی ندارد.

حتما نمونه سوال فصل 4 ریاضی دهم معادله ها و نامعادله ها را به همراه پاسخ نامه تشریحی از قسمت پیشنهاد های زیر دانلود کنید، همه نکته های مهم این فصل را در آن آموزش می بینید.

• نمونه سوال فصل 4 ریاضی دهم با پاسخ نامه تشریحی
• توان و ریشه n ام و نکته های مربوط به ریشه های زوج و فرد
• نسبت های مثلثاتی سینوس ، کسینوس ، تانژانت و کتانژانت
• نمونه سوال ریاضی دهم فصل اول مجموعه ، الگو و دنباله با پاسخ تشریحی
• بازه ها در مجموعه اعداد حقیقی و نمایش آن ها روی محور