زیرمجموعه چگونه تعریف می شود و تفاوت آن با عضو بودن در مجموعه چیست ؟

زیرمجموعه ها و تفاوت آن با عضویت - درس در خانه

دوتا از نماد های مهمی که در بحث مجموعه ها استفاده میشه نماد عضو بودن در مجموعه و زیرمجموعه بودن هست. این دو نماد باهم تفاوت بسیاری دارند که الان میخوایم با همدیگه یاد بگیریم. اگه این نکته امروز رو یاد بگیرید مطمئن باشید …

 

 

 


دوتا از نماد های مهمی که در بحث مجموعه ها استفاده میشه ،‌نماد عضو بودن در مجموعه و زیرمجموعه بودن هست. این دو نماد باهم تفاوت بسیاری دارند که الان میخوایم با همدیگه یاد بگیریم. اگه این نکته امروز رو یاد بگیرید مطمئن باشید ازین به بعد به راحتی همه سوالای صحیح و غلط در این مورد باهاش رو به رو بشید، رو میتونید به آسونی جواب بدید.

عضو بودن در مجموعه

به طور مثال مجموعه { ۳ و ۲ و ۱ }= A رو در نظر بگیرید. این مجموعه همونطور که ملاحظه میکنید ۳ تا عضو داره که این مطلب رو به صورت زیر نشون میدیم:

۳ ∈ A ۲ ∈ A ۱ ∈ A

البته اگه دوتا از عضو ها یا بیشتر رو بخوایم، باهم دیگه و به صورت خلاصه بگیم که عضو A هستن، میتونیم از شیوه های زیر استفاده کنیم:

۱ , ۲ ∈ A

۱ , ۳ ∈ A

۲ , ۳ ∈ A

۱ , ۲ , ۳  ∈ A

این که از کدوم مدل بخایم استفاده کنیم، کاملا بستگی به صورت سوالمون داره. البته معمولا صورت سوال خودش اینا رو مینویسه و فقط از ما درست یا غلطیش رو میپرسه.

حالا اگه یه چیزی عضو مجموعه نباشه ، اون رو باید چطوری نمایش بدیم؟ مثلا در مجموعه بالا میخوایم بگیم که عدد ۲ عضو این مجموعه نیست. باید بنویسم:

۲ ∉ A

بیاین یه مثال در این مورد رو باهم کار کنیم.

مثال : باتوجه به مجموعه { ۱۲- و  Φ و ۸- و a و ۵ و ۶ } =A به درست یا نادرست بودن عبارات زیر رو مشخص کنید.

-۱۲ ∉ A a , -8 ∈ A
Φ ∈ A ۵ , ۶ , ۷ ∈ A

جواب : به صورت خلاصه جواب میدم ، توضیح اگه نیاز بود توی کامنت بپرسید لطفا

صحیح a , -8 ∈ A
غلط -۱۲ ∉ A
غلط ۵ , ۶ , ۷ ∈ A
صحیح Φ ∈ A

پیشنهاد می کنم درس زیر رو مطالعه کنید :

تعریف مجموعه ها رو با نوشتن اعضا ، نمودار ون و نماد ریاضی یاد بگیریم

 

تعریف زیرمجموعه و نماد آن

اگه از یک مجموعه ، یک یا چندتا عضوش رو انتخاب کنیم و اونا رو درکنارهم داخل یک آکولاد { } قرار بدیم، میگیم که ما یک زیرمجموعه از مجموعه اولی تشکلیل دادیم. مهم ترین چیزی که اینجا باید رعایت کنیم همون علامت آکولاد هستش. اگه آکولاد نذاریم میشه مثل چیزایی که واسه عضویت نوشته بودیم و دیگه زیرمجموعه به حساب نمیاد.

دوباره مجموعه { ۳ و ۲ و ۱ }= A رو در نظر بگیرد. همون چیزایی که واسه قسمت عضویت نوشته بودیم رو اگه الان اینجا دوباره بنویسیم و البته داخل یه آکولاد بنویسیم. علامت عضویت رو باید برداریم و بجاش علامت زیر مجموعه بودن رو قرار بدیم، یعنی :

{ ۱ } ⊂ A

{ ۲ } ⊂ A

{ ۳ } ⊂ A

{ ۱ , ۲ } ⊂ A

{ ۱ , ۳ } ⊂ A

{ ۲ , ۳ } ⊂ A

{ ۱ , ۲ , ۳ } ⊂ A

 خب حالا بذارید یه نکته مهم رو براتون بگم. مجموعه تهی رو که یادتون هست !؟ اگه یادتون باشه به مجموعه ای که هیچ عضوی نداشته باشه، میگم مجموعه تهی و اون رو با نماد Φ  و یا { } نمایش میدن. حالا نکته چیه !؟

نکته : مجموعه تهی زیرمجموعه همه مجموعه ها هست.

پس علاوه بر اون ۷ تا زیر تا مجموعه که بالا نوشتم باید به آخرشون این رو هم اضافه کنیم:

{  } ⊂ A      یا   Φ ⊂ A

فرمول تعداد کل زیرمجموعه های یک مجموعه n عضوی 

دیدم برای یک مجموعه که سه تا عضو داره ، ما میتونیم ۸ تا زیر مجموعه بنویسیم. به نظر میرسه باید یه فرمولی وجود داشته باشه که بشه تعداد زیرمجموعه هایی که میشه نوشت رو از همون اون محاسبه کرد. فرمولش رو در زیر باهم میخونیم :

 

فرمول تعداد زیرمجموعه ها - درس در خانه

برای بدست آوردن تعداد زیرمجموعه ها باید عدد ۲ رو به توان تعداد عضوهای اون مجموعه برسونیم. در مورد مثال قبلی دیدیم که سه تا عضو داشت و ۸ تا زیرمجموعه نوشتیم. چون ۲ به توان ۳ مساوی ۸ میشه.

 

فرمول تعداد زیرمجموعه های ۲ عضوی از یک مجموعه n عضوی

برای بدست اوردن تعداد زیرمجموعه های ۲ عضوی از یک مجموعه که درکل n عضو داره باید از فرمول زیر استفاده کنیم:

تعداد زیرمجموعه های ۲عضوی=n×(n-1)÷۲

مثال: تعداد زیرمجموعه های دو عضوی در یک مجموعه ۱۰ عضوی چندتاست؟

جواب : طبق فرمول ۴۵ تا زیرمجموعه ۲ عضوی داره   :‌   ۴۵=۲÷۹۰=۲÷(۱-۱۰)×۱۰


امیدوارم که مطالب این درس براتون مفید باشه. در صورتی که سوالی دارید می توانید از بخش ارسال دیدگاه آن را با ما در میان گذاشته و جواب سوال خود را در کمترین زمان ممکن (حداکثر 24 ساعت) مشاهده کنید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

91 دیدگاه در “زیرمجموعه چگونه تعریف می شود و تفاوت آن با عضو بودن در مجموعه چیست ؟”

  1. سلام خسته نباشید

    اگر در یک مجموعه ۳ اکولاد در درون مجموعه داشته باشیم که هر اکولاد ۳ عضو داشته باشد در این صورت این اکولاد ها زیر مجموعه هستند یا نه

    1. سلام اگر منظورتان به صورت زیر است
      {{A={ {1,2,3} , {4,5,6} , {7,8,9
      در این صورت هر کدام از این آکولادها یک عضو به حساب میاد، نه زیر مجموعه
      {۱,۲,۳} عضو
      زیر مجموعه باید یک آکولاد بیشتر از عضو داشته باشد، یعنی به صورت زیر باشد:
      {{۱,۲,۳}} زیر مجموعه

  2. در نوشتن تعداد زیر مجموعه ها تمام اعداد زیر مجموعه و می‌نویسیم و در آخر مجموعه ی تهی و خود مجموعه را مینویسیم ؟ یا فقط تهی

  3. سلام. تعداد زیر مجموعه های یه مجموعه k عضوی ۲۲۴ تا بیشتر از تعداد زیر مجموعه های یه مجموعه k_3 عضوی است k را بیابید، میشه جوابشو بگید

    1. اگه تعداد زیر مجموعه های k-3 عضوی را برابر با A فرض کنیم. تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه k عضوی میشه ۸A
      اختلاف این دو مقدار میشه ۷A که باید برابر با عدد ۲۲۴ قرار بدیم. در نتیجه A بدست میاد ۳۲ یا همان ۲ به توان ۵
      از طرفی میدونیم که مقدار A مساوی است با ۲ به توان k-3
      پس : k-3=5 است و در نتیجه k=8

  4. با سلام، تعداد زیر مجموعه های یه مجموعه k عضوی ۲۲۴ تا بیشتر از تعداد زیر مجموعه های مجموعه k-3 عضوی است k را بیابید، میشه کمکم کنید؟

    1. مربوط به قسمت ترکیب در ریاضی دهم می شود. اگر زیر مجموعه های r عضوی از یک مجموعه ی n عضوی را بخواهیم. باید ترکیب r از n را بدست آوریم