زاویه مرکزی و اندازه کمان رو به روی آن و رابطه طول کمان

در یک دایره ، زاویه ای که راس آن روی مرکز دایره و اضلاع آن شعاع های دایره باشند، زاویه مرکزی نام دارد. اندازه هر زاویه مرکزی با اندازه کمان رو به روی آن …

زاویه مرکزی و اندازه کمان رو به روی آن

در یک دایره ، زاویه ای که راس آن روی مرکز دایره و اضلاع آن شعاع های دایره باشند، زاویه مرکزی نام دارد.

اندازه هر زاویه مرکزی با اندازه کمان رو به روی آن مساوی است.

در شکل زیر ، زاویه های AOB و COD زاویه مرکزی هستند.

اندازه زاویه AOB مساوی با کمان AB یعنی 65 درجه و اندازه زاویه COD مساوی با کمان CD یعنی 110 درجه است.

استفاده از کمان و زاویه مرکزی در محاسبه زاویه ها و کمان ها

با استفاده از این نکته که اندازه زاویه مرکزی با کمان رو به روی آن مساوی است. می توان در سوالات اندازه زاویه ها و کمان های مجهول را بدست آورد.

قبل از هر چیز دو نکته را ذکر می کنیم:

نکته : قطر هر دایره ، آن را به دو کمان با مساوی با اندازه های 180 درجه تقسیم می کند.

در شکل بالا کمان ها AMB  و ANB هر دو مساوی با 180 درجه هستند.

نکته : مثلثی که از وصل کردن دو سر کمان رو به روی زاویه مرکزی بوجود می آید، همیشه یک مثلث متساوی الاساقین است و دو زاویه آن باهم مساوی است.

در شکل بالا ، مثلث AOB یک مثلث متساوی الاساقین است و زاویه های A و B باهم مساوی اند.

مثال : در شکل زیر اندازه زاویه ها و کمان های شماره گذاری شده را بدست آورید.

به ترتیب اندازه زاویه ها و کمان های شماره گذاری شده را بدست می آوریم.

زاویه شماره 1 : طبق نکته ای که گفتیم مثلث زرد، یک مثلث متساوی الاساقین است. این زاویه 30 درجه است.

زاویه شماره 2 : در مثلث زرد دو زاویه دیگر 30 درجه هستند. پس این زاویه 120 درجه است.

زاویه شماره 3 : این زاویه مکمل زاویه 2 است. پس اندازه آن 60 درجه است.

زاویه شماره 4 : این زاویه با زاویه شماره 2 متقابل به راس است، پس با آن مساوی است. (120 درجه)

کمان شماره 5 : این کمان روبه روی زاویه مرکزی شماره 2 است. پس با آن مساوی است (120 درجه)

کمان شماره 6 : این کمان رو به روی زاویه مرکزی شماره 3 است. پس با آن مساوی است (60 درجه)

کمان شماره 7 : این کمان روبه روی زاویه مرکزی شماره 4 است. پس با آن مساوی است (120 درجه)

کمان شماره 8 : مجموع همه کمان ها باید 360 درجه شود. پس این کمان 60 درجه است.

فرق اندازه کمان با طول کمان در چیست؟

می دانیم محیط دایره از لحاظ درجه مساوی 360 درجه است. هر قطعه ای از محیط دایره سهمی از این 360 درجه را به خودش اختصاص می دهد. به طور مثال در شکل زیر ، اندازه کمان AB و کمان CD مساوی با 40 درجه است. چون هر دوی آن ها روبه روی زاویه مرکزی O=40 درجه قرار دارند. اما بیاید طول این کمان ها را حساب کنیم.

طول یک کمان به محیط دایره بستگی دارد. دقت کنید که واحد طول کمان از جنس متر یا سانتی متر است ولی واحد اندازه کمان از جنس زاویه است.

در هر دایره ، بین اندازه کمان و طول کمان رابطه زیر برقرار است:

شعاع دایره کوچک 3 و شعاع دایره بزرگ 6 است. با فرض اینکه عدد پی مساوی با 3 است. محیط هر دایره را حساب می کنیم.

حال با استفاده از رابطه ای که درباره طول کمان گفتیم، طول کمان های AB و CD را حساب می کنیم:

بنابراین مشاهده کردید که طول کمان به اندازه محیط دایره وابسته است.

• خط مماس بر دایره و ویژگی عمود بودن آن بر شعاع دایره
• احتمال سکه و تاس و بررسی همه حالت های ممکن در احتمال
• جدول فراوانی داده ها ، تعاریف و نکات مربوط به آن
• تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال چگونه انجام می شود؟
• نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد به کمک مثلث قائم الزاویه
• تقسیم اعداد توان دار با پایه های مساوی یا با توان های مساوی
• به توان رساندن یک عدد توان دار داخل پرانتز چگونه است؟
• نمونه سوال های فصل به فصل