زاویه مرکزی و اندازه کمان رو به روی آن و رابطه طول کمان

در یک دایره ، زاویه ای که راس آن روی مرکز دایره و اضلاع آن شعاع های دایره باشند، زاویه مرکزی نام دارد. اندازه هر زاویه مرکزی با اندازه کمان رو به روی آن …


زاویه مرکزی و اندازه کمان رو به روی آن

در یک دایره ، زاویه ای که راس آن روی مرکز دایره و اضلاع آن شعاع های دایره باشند، زاویه مرکزی نام دارد.

اندازه هر زاویه مرکزی با اندازه کمان رو به روی آن مساوی است.

در شکل زیر ، زاویه های AOB و COD زاویه مرکزی هستند.

اندازه زاویه مرکزی مساوی با اندازه کمان رو به روی آن است.

اندازه زاویه AOB مساوی با کمان AB یعنی 65 درجه و اندازه زاویه COD مساوی با کمان CD یعنی 110 درجه است.

استفاده از کمان و زاویه مرکزی در محاسبه زاویه ها و کمان ها

با استفاده از این نکته که اندازه زاویه مرکزی با کمان رو به روی آن مساوی است. می توان در سوالات اندازه زاویه ها و کمان های مجهول را بدست آورد.

قبل از هر چیز دو نکته را ذکر می کنیم:

نکته : قطر هر دایره ، آن را به دو کمان با مساوی با اندازه های 180 درجه تقسیم می کند.

قطر دایره را به دو کمان مساوی 180 درجه تقسیم می کند

در شکل بالا کمان ها AMB  و ANB هر دو مساوی با 180 درجه هستند.

نکته : مثلثی که از وصل کردن دو سر کمان رو به روی زاویه مرکزی بوجود می آید، همیشه یک مثلث متساوی الاساقین است و دو زاویه آن باهم مساوی است.

مثلث ایجاد شده توسط زاویه مرکزی ، متساوی الساقین است.

در شکل بالا ، مثلث AOB یک مثلث متساوی الاساقین است و زاویه های A و B باهم مساوی اند.

مثال : در شکل زیر اندازه زاویه ها و کمان های شماره گذاری شده را بدست آورید.

یک مثال از زاویه مرکزی و کمان ها در دایره

به ترتیب اندازه زاویه ها و کمان های شماره گذاری شده را بدست می آوریم.

زاویه شماره 1 : طبق نکته ای که گفتیم مثلث زرد، یک مثلث متساوی الاساقین است. این زاویه 30 درجه است.

زاویه شماره 2 : در مثلث زرد دو زاویه دیگر 30 درجه هستند. پس این زاویه 120 درجه است.

زاویه شماره 3 : این زاویه مکمل زاویه 2 است. پس اندازه آن 60 درجه است.

زاویه شماره 4 : این زاویه با زاویه شماره 2 متقابل به راس است، پس با آن مساوی است. (120 درجه)

کمان شماره 5 : این کمان روبه روی زاویه مرکزی شماره 2 است. پس با آن مساوی است (120 درجه)

کمان شماره 6 : این کمان رو به روی زاویه مرکزی شماره 3 است. پس با آن مساوی است (60 درجه)

کمان شماره 7 : این کمان روبه روی زاویه مرکزی شماره 4 است. پس با آن مساوی است (120 درجه)

کمان شماره 8 : مجموع همه کمان ها باید 360 درجه شود. پس این کمان 60 درجه است.

فرق اندازه کمان با طول کمان در چیست؟

می دانیم محیط دایره از لحاظ درجه مساوی 360 درجه است. هر قطعه ای از محیط دایره سهمی از این 360 درجه را به خودش اختصاص می دهد. به طور مثال در شکل زیر ، اندازه کمان AB و کمان CD مساوی با 40 درجه است. چون هر دوی آن ها روبه روی زاویه مرکزی O=40 درجه قرار دارند. اما بیاید طول این کمان ها را حساب کنیم.

رابطه بین اندازه کمان و طول کمان در زاویه مرکزی

طول یک کمان به محیط دایره بستگی دارد. دقت کنید که واحد طول کمان از جنس متر یا سانتی متر است ولی واحد اندازه کمان از جنس زاویه است.

در هر دایره ، بین اندازه کمان و طول کمان رابطه زیر برقرار است:

رابطه بین اندازه کمان و طول کمان

شعاع دایره کوچک 3 و شعاع دایره بزرگ 6 است. با فرض اینکه عدد پی مساوی با 3 است. محیط هر دایره را حساب می کنیم.

محاسبه محیط دایره بزرگ و کوچک در مثال

حال با استفاده از رابطه ای که درباره طول کمان گفتیم، طول کمان های AB و CD را حساب می کنیم:

محاسبه طول کمان AB و CD

بنابراین مشاهده کردید که طول کمان به اندازه محیط دایره وابسته است.


پیشنهاد میکنم درس های زیر رو مطالعه کنید:

امیدوارم که مطالب این درس براتون مفید باشه. در صورتی که سوالی دارید می توانید از بخش فرستادن دیدگاه آن را با ما در میان گذاشته و جواب سوال خود را در کمترین زمان ممکن (حداکثر 24 ساعت) مشاهده کنید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

50 دیدگاه در “زاویه مرکزی و اندازه کمان رو به روی آن و رابطه طول کمان”

  1. سلام خوبی اگر زاویه محیطی دایره ای۴۰ درجه باشدکمان روبه‌رو آن چند درجه است ممنون میشم بگوید

  2. چرا وقتی که کمان های دایره را با اندازه های مساوی تقسیم میکنیم نقاط که تقسیم به هم وصل میکنیم چندضلعی منتظم به وجود می آید ممنون میشم جواب بدید

  3. سلام من یه سوال دارم
    جواب این جای خالی رو بلدید؟

    در یک دایره طول وتر روبه رو به زاویه مرکزی ۶۰درجه با………….. دایره برابر است

    1. با یک ششم محیط دایره برابر است. چون کل محیط دایره 360 درجه است. پس 60 درجه تقسیم بر 360 درجه میشه یک ششم . پس یک ششم محیط دایره روبه روی زاویه 60 درجه قرار داره.

    2. در شکل مقابل نقطه O مرکز دایره است اندازه زاویه وکمان های خواسته شده را بنویسید

  4. سلام . آیا با داشتن یک کمان به طول خمیده آن مثلن 24mm فقط یک کمان روی صفحه کاغذ . ) آیا میتوان شعاع و زاویه مرکزی را بدست آورد .

    ممنون . اگر جواب دهید .

    1. فقط با داشتن طول یک کمان که میدانیم بخشی از یک دایره است، نمی شود شعاع و زاویه مرکزی را بدست بیاوریم. چون میدانیم که اندازه کمان تقسیم بر 360 مساویست با طول کمان تقسیم بر محیط دایره. پس میبینیم که از سه متغییر طول کمان و اندازه کمان و محیط دایره فقط طول کمان را داریم که طبق صورت سوال 24mm داده شده است. برای بدست اوردن موارد خواسته شده در مسله باید حداقل دو مورد از سه مورد گفته شده مشخص باشد.

  5. سلام خسته نباشید
    رابطه زاویه دودایره با زاویه اقطاب دو دایره چگونه است

    1. سلام میشه این سوال رو برام توضیح بدین

      یک کمان بکشید و سعی کنید مرکز دایره ای رو که این کمان قسمتی از همون دایره هست رو پیدا کنید

    2. چرا وقتی که کمان های دایره را با اندازه های مساوی تقسیم میکنیم نقاط که تقسیم به هم وصل میکنیم چندضلعی منتظم به وجود می آید ممنون میشم جواب بدید

  6. سلام یک دایره با محیط ۲۰۸و قطر ۶۶ داریم ۷ درجه چند سانتیمتر از این دایره میشود ؟؟از طریق چ فرمولی به دست می آید.

    1. از طریق این فرمول : طول کمان تقسیم بر محیط مساویست با اندازه ی کمان تقسیم بر ۳۶۰ درجه.
      پس نتیجه میشود ۲۰۸ ضربدر هفت ، جوابش تقسیم بر ۳۶۰ میکنیم که جواب نهایی ۴ می‌باشد.

  7. سوال دارم
    استاد جلمه زیر درسته یا غلط و چرا؟
    در یک ، طول وتر روبرو به زاویه مرکزی 60 درجه،با شعاع دایره برابر است.
    ممنون میشم پاسخ بدید

    1. جمله درست است،
      چون مثلثی که دو ضلعش شعاع دایره است و دو زاویه مقابل ساق ها با هم برابر هستند،
      اگر زاویه راس ۶۰ درجه باشد، مجموع دو زاویه دیگر ۱۲۰ درجه میشود و چون با هم برابر هستند هر کدام ۶۰ درجه میشوند،
      پس مثلث متساوی الاضلاع است.

    1. واقعا توضیحاتتون فوق العاده بود، ممنون بابت لطفتون 🙏🏻❤

    1. من از خیلی خوشم آمد از شما مچکرم که این نمونه سوالات را با ما درمیون گذاستین

    1. سلام من یک سوالی دارم: طول یک کمان یک پنجم محیط دایره است ، اندازه ی کمان متناظر با آن چند درجه است؟
      لطفا جواب بدید👉

    2. اندازه ی کمان با زاویه ی مرکزی برابر است پس نتیجتا اندازه ی زاویه مرکزی هم یک پنجم ۳۶۰ درجه می‌باشد جواب میشه هفتادودو