دایره مثلثاتی چیست و چگونه می توان از آن استفاده کرد

دایره مثلثاتی ، دایره ای به شعاع یک واحد است. هر نقطه مثل p روی این دایره دارای طول x و عرض y است. اندازه y مقدار سینوس و اندازه x مقدار کسینوس را …

معرفی دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی ، دایره ای به شعاع یک واحد است. هر نقطه مثل p روی این دایره دارای طول x و عرض y است. اندازه y مقدار سینوس و اندازه x مقدار کسینوس را مشخص می کند. به شکل زیر دقت کنید.

در دایره مثلثاتی بالا نقطه P با مختصات (x , y) دارای طول عرض مشخصی است.

مثلث OPR را در نظر بگیرید.

• زاویه O که در پایین مثلث ایجاد شده، زاویه بین خط OP و جهت مثبت محور x ها است.
• اندازه PR (ضلع مقابل) برابر با عرض y نقطه P
• اندازه OR (ضلع مجاور) برابر با طول x نقطه P
• اندازه وتر مثلث هم ۱ واحد است.

اگر از تعریف سینوس استفاده کنیم. سینوس برابر است با ضلع مقابل تقسیم بر وتر یعنی y تقسیم بر ۱

اگر از تعریف کسینوس استفاده کنیم. کسینوس برابر است با ضلع مجاور تقسیم بر وتر یعنی x تقسیم بر ۱

پس :

sin = y   ,   cos=x

از طرفی مقدار x و y نقطه هایی که روی دایره مثلثاتی قرار می گیرند، نمی تواند از ۱+ بیشتر یا ۱- کمتر شود.

بنابراین برای سینوس و کسینوس می توان محدوده های زیر را در نظر گرفت:

می دونیم در هر مثلث قائم الزاویه رابطه فیثاغورس برقرار است. در این مثلث OPR هم اگر رابطه فیثاغوس را بنویسیم، به فرمول مهم و اساسی در مثلثات می رسیم.

اون علامت جلوی سینوس و سینوس رو بخونید تتا ، معرف زاویه مربوط به سینوس و کسینوس است. مثلا ممکن است این زاویه ۳۰ درجه ، ۴۰ درجه یا هر زاویه دیگری باشد.

طبق این فرمول سینوس هر زاویه به توان ۲ بعلاوه کسینوس همان زاویه به توان ۲ مساوی با یک می شود.

در دایره مثلثاتی نقطه P می تواند هر جایی از محیط دایره قرار گیرد. همانطور که در شکل زیر می بینید. دایره مثلثاتی توسط محورهای مختصات x و y به چهار ناحیه یا ربع تقسیم می شود.

شماره گذاری این ناحیه های از ۱ تا ۴ به صورت زیر است. دقیقا همان ناحیه های محورهای مختصات است که در سال های قبل یادگرفته ایم.

اندازه زاویه در هر ناحیه محدوده مربوط به خود را دارد:

• زاویه ای که در ناحیه اول شکل می گیرد : بین ۰ تا ۹۰ درجه
• زاویه ای که در ناحیه دوم شکل می گیرد : بین ۹۰ تا ۱۸۰ درجه
• زاویه ای که در ناحیه سوم شکل می گیرد : بین ۱۸۰ تا ۲۷۰ درجه
• زاویه ای که در ناحیه چهارم شکل می گیرد : بین ۲۷۰ تا ۳۶۰ درجه 

این زاویه های را به ترتیب در شکل زیر مشاهده می کنید.

در دایره مثلثاتی با توجه به علامت x و y می توان سینوس و کسینوس را در هر ناحیه تعیین کرد.

• در ناحیه اول : هر دو مثبت
• در ناحیه دوم : فقط سینوس مثبت
• در ناحیه سوم : هر دو منفی
• در ناحیه چهارم : فقط کسینوس مثبت

برای یادگیری بهتر این علامت ها را در شکل زیر می بینید.

درس دایره مثلثاتی به پایان رسید. در درس های بعدی به شما آموزش می دهیم که چطور میشه با داشتن یکی از نسبت های مثلثاتی ، بقیه آن ها را بدست آورد.

• پیدا کردن اضلاع به کمک نسبت های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه
• نسبت های مثلثاتی سینوس ، کسینوس ، تانژانت و کتانژانت
• نمونه سوال ریاضی دهم فصل اول مجموعه ، الگو و دنباله با پاسخ تشریحی
• بازه ها در مجموعه اعداد حقیقی و نمایش آن ها روی محور
• دنباله حسابی – پیداکردن جملات دنباله و جمله عمومی آن
• دنباله هندسی – پیدا کردن جملات دنباله و جمله عمومی آن
• متمم یک مجموعه و بدست آوردن آن با استفاده از مجموعه مرجع