مجموعه را با نوشتن اعضا ، نمودار ون و نماد ریاضی چگونه نمایش دهیم ؟

در این درس میخوام شما رو با تعریف مجموعه توی درس ریاضی آشنا کنم. چطوری تشخیص بدیم که چه چیزی مجموعه به حساب میاد و چه چیزی مجموعه به حساب نمیاد. چطوری میشه اون ها رو نمایش داد …

در این درس میخوام شما رو با تعریف مجموعه توی درس ریاضی آشنا کنم. چطوری تشخیص بدیم که چه چیزی مجموعه به حساب میاد و چه چیزی مجموعه به حساب نمیاد و سه روش نمایش اون ها یعنی نوشتن اعضا ، کشیدن نمودار ون و نماد ریاضی رو باهم یاد بگیریم.

تعریف مجموعه

در ریاضی، به دسته ای از اشیای مشخص و متمایز مجموعه گفته میشه.

منظور از کلمه «مشخص» اینه که این اشیاء ، اعداد یا اعضا کاملا معین باشه و ما دقیقا بدونیم که اونا چی هستن. مثلا وقتی میگیم:

مثال : آیا جمله « سه تا از مدرسه های مشهد » نشان دهنده یک مجموعه است؟

جواب :  خیر . چون در شهر مشهد یه عالمه مدرسه هست و این جمله دقیقا مشخص نمیکنه که منظورش کدوم سه تا مدرسه هست. بنابراین نمیتونه معرفی کننده یک مجموعه باشه.

منظور از کلمه «متمایز» هم اینه که اعضای گفته شده نباید تکراری باشند، یا به عبارت دیگه، اگه تکراری هم باشند، فقط یکی ازونا کافیه و بقیه رو میشه پاک کرد.

مثال : مجموعه { ۴ و ۳  و ۴ و ۳ و ۲ و ۱ } دارای چند عضو است ؟

جواب : اعضای تکرار شده فقط یکبار شمرده می شوند. پس ۴ عضو دارد.

نمایش مجموعه ها 

برای نمایش مجموعه ها از سه روش : نوشتن اعضا، نمودار ون و نماد ریاضی استفاده می شود.

روش اول:  نوشتن اعضا

اگر بتونیم همه عضوهای یک مجموعه رو بین دو آکولاد { } بنویسم، میگیم که اون رو با نوشتن اعضایش مشخص کردیم.

مثال : مجموعه عددهای صحیح از ۴- تا ۴+ را نوشتن اعضا مشخص کنید.

جواب : پاسخ سوال به صورت { ۴+ و ۳+ و ۲+ و ۱+ و ۰ و ۱- و ۲- و ۳- و ۴- } است.

روش دوم : نمایش با نمودار ون

نمودار ون در واقع یک منحنی بسته یا خط های شکسته بسته هستند که اعضای یک مجموعه رو داخل اون نوشته ایم. اگه بخوایم دو یا چند مجموعه رو در کنار هم نمایش بدیم. در صورتی که بخش مشترکی دارند باید این اشتراک در شکلی که میکشیم به وضوح مشخص شده باشد.

مثال : دو مجموعه { ۱۰ و ۸ و ۶ و ۴ }=A  و  { ۶ و ۵ و ۴ و ۳ و ۲ }=B را با استفاده از نمودار ون نمایش دهید.

جواب : نمودار ون  به صورت زیر است :

ملاحظه میکنید که اعضای مشترک باعث شده تا دو منحنی با هم اشتراک داشته باشند.

روش سوم : نمایش با نماد ریاضی

این روش نسبت به دو روش قبلی کمی پیچیده تر است. برای یادگیری این بخش، اول باید با نمایش مجموعه های اعداد طبیعی، حسابی، صحیح، زوج و فرد و اعداد گویا آشنا باشیم

N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ….. }   :  اعداد طبیعی

W = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ….. }   :  اعداد حسابی

Z = { …… , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , +1 , +2 , +3 , +4 , ….. }   :  اعداد صحیح

E = { 2 , 4 , 6 , 8  , ….. }  یا  E = { 2k | k ∈ N }   :  اعداد زوج

O = { 1 , 3 , 5 , 7 , …..}  یا  O = { 2k-1 | k∈ N }  :   اعداد فرد

Q = { a/b |  a,b ∈ Z   و b≠۰ }  :  اعداد گویا

حالا میتونیم چند نمونه نمایش با نماد ریاضی رو با هم تمرین کنیم و ببینیم که چطوری میشه از روی نماد ریاضی ، اعضا رو بنویسیم:

مثال : هر یک از مجموعه های زیر را با نوشتن اعضا مشخص کنید :

A = { x | x ∈ N , 3 ≤ x ≤ 8 }

B = { x | x ∈ N , 3 < x ≤ 8 }

C = { x | x ∈ N , 3 ≤ x < 8 }

D = { x | x ∈ N , 3 < x < 8 }

جواب : مجموعه ای از اعداد طبیعی را باید بنویسیم که شرط گفته شده در هر مورد رو داشته باشه. در مورد A عدد ۳ و ۸ هردو علامت مساوی هم دارند. پس در نوشتن اعداد خود ۳ و ۸ رو هم باید بنویسیم. در مورد B ، عدد ۳ جزء مجموعه نیست . در مورد C ، عدد ۸ و در مورد D ، هردو عدد ۳ و ۸ نباید جزء مجموعه به حساب بیاد. بنابراین :

A = { x | x ∈ N , 3 ≤ x ≤ 8 }= { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

B = { x | x ∈ N , 3 < x ≤ 8 }= { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

C = { x | x ∈ N , 3 ≤ x < 8 }= { 3 , 4 , 5 , 6 , 7  }

A = { x | x ∈ N , 3 < x < 8 }= { 4 , 5 , 6 , 7 }

مثال : هریک از مجموعه های زیر را با نوشتن اعضا مشخص کنید.

A = { x | x ∈ N , -100 ≤ x ≤ 5 }

B = { 5x-2  | x ∈ Z , -2 ≤ x ≤ +2 }

جواب : در مورد A باید بگم درسته که نوشته x بین ۱۰۰- و ۵ باشه ولی ازون جایی که قبلش گفته اعضا باید عدد طبیعی باشن، پس کل عدد های منفی و عدد صفر رو نباید بنویسیم. فقط کافیه از ۱ تا ۵ رو بنویسم.

A = { x | x ∈ N , -100 ≤ x ≤ 5 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

مجموعه B هم اعضایش به صورت 5x-2 هستن. یعنی اول باید ببینیم که x ها چی هستن. بعدش اونا رو دونه دونه توی عبارت 5x-2 بذاریم و مقدارش رو بدست بیاریم. نوشته که x عدد صحیح هست و بین ۲- و ۲+ یعنی ۲+ و ۱+ و ۰ و ۱- و ۲- قابل قبول هستن. دونه دونه اینا رو بجای x  قرار میدیم:

5x – 2 = 5 ( -2 ) -2 = -10 -2 = -12

5x – 2 = 5 ( -1 ) -2 = -5 -2 = -7

5x – 2 = 5 ( 0 ) -2 = 0 -2 = -2

5x – 2 = 5 ( +1) -2 = +5 -2 = +3

5x – 2 = 5 ( +2 ) -2 = +10 -2 = +8

بنابراین اعضای B به صورت { ۸+ و ۳+ و ۲- و ۷- و ۱۲- } است.