متمم یک مجموعه و بدست آوردن آن با استفاده از مجموعه مرجع

در هر بحث بزرگترین مجموعه ای که مورد سوال قرار گرفته، مجموعه مرجع نامیده می شود و آن را با حرف U نشان میدهند. متمم یک مجموعه یعنی همه عضوهای مجموعه مرجع، بجز عضوهای خود مجموعه …

نوشتن متمم یک مجموعه

در هر بحث بزرگترین مجموعه ای که مورد سوال قرار گرفته، مجموعه مرجع نامیده می شود و آن را با حرف U نشان میدهند. متمم یک مجموعه یعنی همه عضوهای مجموعه مرجع، بجز عضوهای خود مجموعه. در واقع ممتم یک مجموعه مثل A از تفاضل مجموعه مرجع و مجموعه A بدست می آید.

همانطور که ملاحظه می کنید، تعداد عضوهای مجموعه متمم برابر است با تعداد عضوهای مجموعه مرجع منهای تعداد عضوهای خود مجموعه

مثال :مجموعه { ۵ و ۴ و ۳ و ۲ }=A را در نظر بگیرید.

اگر مجموعه مرجع در این سوال اعداد کمتر از ۱۰ باشد، آنگاه متمم مجموعه A به صورت { ۹ و ۸ و ۷ و ۶ و ۱ }=’A 

می شود، یعنی همه اعداد کمتر از ۱۰ بجز آن اعدادی در مجموعه A بودند، در مجموعه متمم A یعنی ‘A قرار می گیرد.

تعیین متناهی یا نامتناهی بودن متمم یک مجموعه

مجموعه مرجع می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. مثلا مجموعه اعداد زوج می تواند به عنوان یک مجموعه مرجع نامتناهی استفاده شود.

حال با توجه به این که خود مجموعه چه حالتی دارد، حالت های مختلف متمم یک مجموعه به صورت زیر است:

اگر مجموعه A متناهی و مجموعه مرجع متناهی باشد، آنگاه : متمم مجموعه A متناهی است.

اگر مجموعه A متناهی و مجموعه مرجع نامتناهی باشد، آنگاه : متمم مجموعه A نامتناهی است.

اگر مجموعه A نامتناهی و مجموعه مرجع نامتناهی باشد، آنگاه : متمم مجموعه A ممکن است متناهی یا نامتناهی باشد.

مثال: اگر مجموعه عددهای حسابی مجموعه مرجع باشد، متمم هریک از مجموعه های زیر را بدست آورید.

A={ 4 , 6 , 8 , 10 , 12 }

B={ 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , … }

مجموعه A متناهی است اما مجموعه B به خاطر همون سه نقطه ای که آخرش دارد یک مجموعه نامتناهی می شود. مجموعه B شامل عددهای زوج بزرگتر از ۴ است.

در متمم مجموعه A همه اعداد حسابی هستد، بجز اعداد ۴ و ۶ و ۸ و ۱۰ و ۱۲ پس:

A’={ 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 15 , 16 , ….}

در متمم مجموعه B اعداد حسابی زوج بزرگتر از ۴ نباید باشند و فقط عدد ۰ و ۲ و همه اعداد فرد باید باشند. پس :

B’={0 , 2 , 1 ,3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , ….}

نکته پایانی : همیشه متمم مجموعه تهی، مجموعه مرجع است و برعکس. یعنی:

• بازه ها در مجموعه اعداد حقیقی و نمایش آن ها روی محور
• دنباله حسابی – پیداکردن جملات دنباله و جمله عمومی آن
• دنباله هندسی – پیدا کردن جملات دنباله و جمله عمومی آن