دانلود رایگان نمونه سوالات امتحانی

زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم چگونه محاسبه می شوند؟

زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم

در این درس میخواهیم زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم را معرفی کنیم. یک چند ضلعی محدب رو در نظر بگیرید. توی هر گوشه دوتا خط به هم میرسند تا یک زاویه بوجود بیاد. به اون خط ها …

 

 


زاویه خارجی چیه؟

در این درس میخواهیم زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم را معرفی کنیم. یک چند ضلعی محدب رو در نظر بگیرید. توی هر گوشه دوتا خط به هم میرسند تا یک زاویه بوجود بیاد. به اون خط ها ضلع های زاویه گفته میشه. این زاویه که بین ضلع های زاویه تشکیل شده رو زاویه داخلی میگن که قبلا باهاش آشنا شدیم. حالا اگه یکی از ضلع های زاویه رو به صورت خط راست ادامه بدیم، زاویه ای که بین این امتداد و ضلع دیگه زاویه تشکیل میشه، زاویه خارجی گفته میشه. در شکل زاویه خارجی با رنگ آبی مشخص شده است.

 

رابطه بین زاویه داخلی و خارجی در هر گوشه

توی تعریف گفتیم که ضلع زاویه رو باید به صورت خط راست ادامه بدیم . اگه به شکل زیر دقت کنید کاملا واضح است که توی هر گوشه زاویه داخلی و خارجی مکمل هم هستن و یا به عبارتی :

زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم

در هر گوشه جمع زاویه داخلی و خارجی مساوی ۱۸۰ است.

 

محاسبه زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم

برای محاسبه زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم یک تمرین خیلی عالی توی کتاب هست. با انجام دادن اون به یک نتیجه خیلی مهم میرسیم. الان میخوایم تمرین کتاب رو باهم حل کنیم و راجع بش بحث کنیم.

میدونیم اگه از تعداد اضلاع ۲ تا کم کنیم و جوابش رو در ۱۸۰ ضرب کنیم، مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی منتظم بدست میاد.

میدونیم مجموع زاویه داخلی و خارجی در هر گوشه هم برابر ۱۸۰ میشه. پس مجموع زاویه های  داخلی و خارجی کل شکل رو اگه بخوایم باید تعداد گوشه ها رو در ۱۸۰ ضرب کنیم.

 

زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم - اثبات

 

با دونستن این دو مورد ستوم سوم و چهارم جدول رو کامل میکنیم. حالا برای پرکردن ستون آخر باید ستوم سوم رو از ستون چهارم کم کنیم. اگه دقت کنید این اختلاف واسه همه شکل ها ۳۶۰=۱۸۰×۲ بدست اومده. از این تمرین نتیجه میگیریم که :

مجموع زاویه های خارجی همیشه مساوی ۳۶۰ است.

محاسبه هر زاویه خارجی یک چند ضلعی منتظم

در چند ضلعی های منتظم تمام ضلع ها با هم و تمام زاویه های هم با هم مساوی است. این مطلب برای زاویه های خارجی هم صادق است. یعنی تمام زاویه های خارجی هم باهم مساوی هستند. پس برای پیدا کردن اندازه هر زاویه خارجی در یک چند ضلعی منتظم به صورت زیر عمل می کنیم:

اندازه هر زاویه خارجی در چند ضلعی منتظم مساوی ۳۶۰ تقسیم بر تعداد اضلاع 

البته میدونیم که تعداد اضلاع و تعداد زاویه ها باهم برابره !

 

اثبات اینکه چرا مجموع زاویه های خارجی هر nضلعی برابر ۳۶۰ میشه

در ابتدای درس گفتیم که در هر گوشه از یک چندضلعی جمع زاویه داخلی با زاویه خارجی مساوی با ۱۸۰ میشه. یک nضلعی دارای nگوشه است بنابراین جمع همه زاویه های داخلی با همه زاویه های خارجی مساوی با  n×۱۸۰  هست. از طرفی میدونیم که جمع همه زاویه های داخلی به تنهایی از فرمول ۱۸۰×(n -2) بدست میاد. در نتیجه اگه فرمول اولی رو منهای دومی کنیم، عبارت باقی مونده برابر با مجموع همه زاویه های خارجی خواهد بود.

n×۱۸۰ – (n-2)×۱۸۰ = ۱۸۰×n – n×۱۸۰ + ۲×۱۸۰ = ۱۸۰n – 180n + 360 = 360

به همین راحتی اثبات شد!


امیدوارم که مطالب این درس براتون مفید باشه. در صورتی که سوالی دارید می توانید از بخش ارسال دیدگاه آن را با ما در میان گذاشته و جواب سوال خود را در کمترین زمان ممکن (حداکثر 24 ساعت) مشاهده کنید.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

345 دیدگاه در “زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم چگونه محاسبه می شوند؟”

  1. ببخشید من در امتحان که حاصل یک زاویه خارجی مثلث را خواسته بود۳۶۰-۱۶۰ =۲۰۰بدست اوردم ولی معلم گفته که که ۱۶۰بایداز۱۸۰کم میشد
    میشه دلیلش رو بهم توضیح بدید چون شما گفتید مجموع زوایای خارجی یک مثلث ۳۶۰
    البته لازم هست بگم که یک ضلع و از روش زاویه داخلی باید حاصل بدست میامد

    1. جمع هر زاویه داخلی و زاویه خارجی مربوط به خودش تشکیل یک زاویه نیم صفحه میدهد. بنابراین جمع آنها ۱۸۰ است. و اگر هر کدام را داشته باشیم برای پیدا کردن دیگری باید ۱۸۰ را منهای آن عدد کنیم.
      مجموع زاویه های خارجی ۳۶۰ است. کاملا درست است. یعنی اگر هر سه زاویه خارجی را در مثلث باهم جمع کنیم ۳۶۰ می شود. و این نکته برای سوال شما کاربرد ندارد.

  2. سلام
    ببخشید میشه جواب این سوال رو بدین
    متمم A با سه چهارم مکمل C مساوی است اگر C = 80 درجه باشد زاویه A چند درجه است

    1. چون C مساوی ۸۰ درجه است. پس مکمل آن ۱۰۰=۸۰-۱۸۰
      سه چهارم عدد ۱۰۰ مساوی با ۷۵ است.که این عدد متمم زاویه A است. پس زاویه A مساوی با ۱۵=۷۵-۹۰ است.

  3. سلام برای جگونه باید زا ویه خارجی یک چند ضلعی غیر منتظم را بدست اوریم

    1. ابتدا زاویه داخلی مورد نظر را بدست میاوریم.
      ۱۸۰ را منهای زاویه ی بدست آمده می کنیم تا زاویه خارجی بدست آید.

  4. اگر شکل ما مقعر باشه بازم زاویه ی خارجی داره اگه داره میشه توضیح بدین

    1. اگر در شکلی زاویه داخلی بیشتر از ۱۸۰ باشد، زاویه خارجی مربوط به همان زاویه به صورت یک عدد منفی بیان می شود. مثلا اگر زاویه داخلی ۲۱۰ درجه باشد، زاویه خارجی آن ۳۰- درجه است

  5. آقای آتش پز برای ما یه جور دیگ گفته بودن ولی مال شما بهترع

  6. عالی بود واقعا ممنون جناب مهندس حسین ابادی کاش یکمی از مخ شما تو سر ما بود سلامتی روزی که ریاضی=مرگ

    1. سلام ببخشید اگر یه ذوزنقه متساوی الاضلاع غیر اصئلی داسته باشیم چطوری باید زاویه خارجی یک گوشه رو حساب کنیم در حالی که زاویه ی داخلی اش رو نداریم؟ممنون میشم جواب بدین

    2. سلام
      در ذوزنقه متساوی الساقین حتما باید یکی از زاویه های داخلی را داشته باشیم.
      زاویه های داخلی مجاور به ساق، مکمل هستند
      اگه هیچ‌زاویه ای اصلا مشخص نباشه، نمیشه حل کرد